A priori par normes mixtes pour les problèmes inverses

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Pour citer ce document :
URI: http://hdl.handle.net/2042/69985
Title: A priori par normes mixtes pour les problèmes inverses
Author: Kowalski, Matthieu; Gramfort, Alexandre
Abstract: On s’intéresse aux problèmes inverses sous déterminés, et plus particulièrement à la localisation de sources en magnéto et électro-encéphalographie (M/EEG). Bien que l’on ait à disposition un modèle physique de la diffusion (ou du « mélange ») des sources, le caractère très sous-déterminé de ces problèmes rend l’inversion difficile. La nécessité de trouver des a priori forts et pertinents physiquement sur les sources est une des difficultés. Dans le cadre du problème inverse de la M/EEG, la parcimonie classique mesurée par une norme 1 n’est pas suffisante, et donne des résultats non réalistes. On propose ici de prendre en compte une parcimonie structurée grâce à l’utilisation de normes mixtes – notamment d’une norme mixte sur trois niveaux. La méthode est utilisée sur des signaux MEG issus d’expériences de stimulation somesthésique. Lorsqu’ils sont stimulés, les différents doigts de la main activent des régions distinctes du cortex sensoriel primaire. L’utilisation d’une norme mixte à trois niveaux permet d’injecter cet a priori dans le problème inverse et ainsi de retrouver la bonne organisation corticale des zones actives. Nous montrons également que la méthode la plus classiquement utilisée dans le domaine échoue dans cette tâche.We are interested by under-determined inverse problems, and more specifically by source localization in magneto and electro-encephalography (M/EEG). Although there is a physical model for the diffusion (or “mixing’’) of the sources, the (very) under-determined nature of the problem leads to a difficult inversion. The need for strong and physically relevant priors on the sources is one of the challenge. For M/EEG classical sparsity prior based on the 1 norm is not adapted, and gives unrealistic results. We propose to take into account a structured sparsity thanks to the use of mixed norms, especially a mixed norm with three indices. The method is then applied on MEG signals obtained during somesthetic stimulation. When stimulated, hand fingers activate separate regions of the primary somatosensory cortex. The use of a three level mixed norm allows to take this prior into account in the inverse problem in order to correctly recover the organization of associated brain regions. We also show that classical methods fail for this task.
Subject: normes mixtes; problème inverse; opérateurs de proximité; électroencéphalographie; magnétoencéphalographie; mixed norms; inverse problems; proximal operators; electroencephalography; magnetoencephalography
Publisher: Lavoisier
Date: 2010

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