01 - Calcul des variations et analyse spectrale : équations de Fourier et de Burgers pour modèles autorégréssifs régularisés

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Pour citer ce document :
URI: http://hdl.handle.net/2042/2153
Title: 01 - Calcul des variations et analyse spectrale : équations de Fourier et de Burgers pour modèles autorégréssifs régularisés
Author: BARBARESCO (Frédéric)
Abstract: Nous proposons une reformalisation de l'analyse spectrale autorégressive régularisée dans le cadre de l'approche variationnelle en considérant le polynôme autorégressif comme une transformation du cercle complexe unité en une courbe paramétrique fermée et orientée dans le plan complexe (théorie globale des courbes planes fermées : classe d'équivalences d'immersions du cercle complexe unité dans le plan Euclidien). Nous montrons que l'Equation d'Euler-Lagrange associée nous ramène à la solution par moindres carrés régularisés classique. Nous posons ensuite le problème sous une forme géométrique intrinsèque pour laquelle la solution est définie comme une géodésique minimale particulière dont la métrique dépend explicitement du terme d'adéquation aux données. Le calcul des variations alors, en redéfinissant la notion de courbure d'une fonction complexe, une équation aux dérivées partielles (EDP) de type « flot de courbure moyenne ». La discrétisation du problème via la transformée en Z aboutit à une EDP agissant sur le vecteur des paramètres autorégressifs. Cette seconde approche permet de s'affranchir de l'optimisation de l'hyperparamètre de régularisation intervenant dans l'approche de Tikhonov classique, en stoppant l'EDP dès que sa vitesse d'évolution est ralentie. Le second avantage réside dans la formalisation EDP qui permet naturellement l'estimation continue, en ligne, du spectre au rythme du flot des données. L'extension de cette formalisation au Cepstre, dont la distance induite ainsi que celle du retard de groupe sont très utilisées en signal, fait apparaître le cepstre différentiel comme la transformation de Hopf-Cole du polynôme autorégressif et induit donc une évolution associée selon l'équation de Burgers conditionnellement aux données. Nous concluons en utilisant l'interprétation de l'intégration complexe par Polya en terme de flux et de travail d'un champ de vecteurs pour montrer que la régularisation tend à rendre non-divergent et irrotationnel le champ de vecteurs autorégressifs conjugués sur le cercle complexe unité.
Description: Autoregressive analysis regularisation is considered as a variational problem solved by calculus of variations where the autoregressive polynomial is regarded as a transformation of the unitary complex circle into a parametric closed orientated curve embedded in the complex space. We proove that the Euler-Lagrange equation of this problem is equivalent to the classical regularized Yule-Walker equation. Then, this regularization problem is formulated, by an intrinsic geometrical approach, as a geodesic distance minimization with respect to a metric defined by the data fitting criteria. Then, Calculus of Variations provides, after a recall of complex function curvature definition, a « Mean Curvature Flow » Partial Differential Equation (PDE). Its discretization by Z transform leads to a PDE acting on the vector of autoregressive parameters. This second approach allows to set regularization free from the optimization of the additional hyperparameter, classically introduced in the Tikhonov approach, simply by stoping PDE when its evolution speed decreases. The second advantage lies in the fact that the PDE numerical scheme is naturally adapted for on-line continuous estimation at the rate of data flow. Extension of the way the previous problem is formulated for the estimation of Cepstrum, whose the associate distance as well as the group delay distance performances are accepted to be very efficient for signal processing applications, shows that the differential cepstrum is exactly identifiable with the Hopf-Cole transform of the autoregressive polynomial and then induces an associate according to Burgers equation with respect to data. We conclude by using Polya’s interpretation of complex function integration by means of vectors field flux and work to illustrate regularization as a process that tends to make non-divergent and non-rotational the conjugate autoregressive vectors field along the unitary complex circle.
Subject: Modèle autorégressif; Régularisation; Calcul variationnel; Analyse spectrale; Equation Fourier; Equation Burgers; Equation Euler Lagrange; Equation dérivée partielle; Coefficient réflexion; Théorème Noether; Reconnaissance forme; Géométrie différentielle; Géodésique minimale; Coefficient cepstral; Cepstre differentiel; Transformation Hopf-Cole; Courbure complexe; Flot courbure moyenne; Champ vecteur Polya
Publisher: GRETSI, Saint Martin d'Hères, France
Date: 2000

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