Calcul d'éléments finis par une technique de perturbation

Abstract

De nombreux problèmes de la physique et de la mécanique conduisent à des équations aux dérivées partielles dont la résolution nécessite une discrétisation du problème en éléments finis. Le but de cette étude est de proposer une nouvelle technique de résolution de ces problèmes d'éléments finis par une technique de perturbation. La technique de perturbation est proche de la P-version des éléments finis [1]. Elle consiste au niveau élémentaire à approximer la solution par une série entière d'ordre p. Le problème élémentaire revient à déterminer les coefficients de cette série. En injectant cette solution approchée dans le problème, nous arrivons à exprimer, après développement en série des données du problème, tous les coefficients de la série en fonction des premiers ce qui réduit le nombre d'inconnues à 2 en dimension 1 comme dans un élément fini à interpolation linéaire. La continuité de la solution ainsi que celle de sa dérivée permet de construire le problème final qui nécessite une seule inversion de matrice. La précision de cette solution dépend que du nombre d'éléments et de l'ordre p de troncature des séries entières. Dans le cas des problèmes non linéaires, la méthode de Newton permet de substituer le problème en une succession de problèmes linéaires. Des exemples simples ont été étudiés pour valider cette méthode et de montrer ses avantages par rapport aux méthodes existantes, la p-version et la méthode classique. On atteint une excellente précision en augmentant l'ordre des séries qui n'influence pas le temps de calcul car les valeurs intermédiaires sont obtenues par des formules de récurrences qui ne demandent qu'un faible coût de calcul. L'extension de cette technique aux problèmes de dimensions 2 puis 3 est l'objet de nos travaux futurs.