The Green-Naghdi approximation and asymptotic models for short-waves

Abstract

L'étude de la propagation d'ondes de surface dans un fluide idéal est un sujet vaste, riche et avec une longue tradition en physique mathématique. La solution analytique complète étant impossible on étudie ce problème parthéorie de perturbations. Il existe un très grand nombre de théories de ce type dites asymptotiques. Elles menent en général à des systèmes d'équations non linéaires et dispersives qui sont censées reproduire la dynamique des équations de Euler dans une certaine limite asymptotique. Les plus classiques de ces modèles sont les équations de Boussinesq et de Korteweg-de Vries obtenues dans la limite de petites amplitudes en fluides peu profonds. L'approximation de Green-Naghdi est aussi une approximation de petite amplitude en fluides peu profonds mais différente de celle qui mène à Boussinesq et Korteweg-de Vries du fait qu'elle n'est pas asymptotique. Dans la première partie de cette communication nous ferons une révision de cette approximation pour un fluide de faible profondeur avec tension superficielle. Dans la seconde partie nous introduirons une approximation de type Green-Naghdi adaptée pour traiter le problème de propagation d'ondes dans un fluide très profond. Dans les deux cas nous montrerons les nouveaux modèles asymptotiques associés et leurs propriétés.