Calcul des ondes à courtes crêtes résonantes

Abstract

Les résonances posent le problème de l'unicité des solutions d'un champ de vagues et par conséquent celui de leur recherche. Plus généralement elles donnent lieu à des difficultés pour les applications que l'on peut faire de la mesure des vagues afin de mieux quantifier les interactions océan/atmosphère. Si depuis un siècle, les vagues de résonance bidimensionnelles ont été étudiées de manière intensive suite à la découverte des plus connues d'entre-elles, les rides de Wilton (Wilton ripples), le cas tridimensionnel n'en est qu'à la considération du problème de l'existence des solutions. La forme la plus considérée de ces vagues est celle des ondes à courtes crêtes. Ce sont des ondes périodiques suivant deux directions distinctes du plan horizontal et ayant une géométrie orthorhombique. Les preuves de l'existence de leurs formes résonantes n'ont été produites qu'en 2001 pour les ondes de gravité-capillarité et très récemment pour le cas où elles ne sont soumises qu'à la seule gravité. La méthode que nous proposons pour le calcul de ces formes critiques est basée sur celle du Lagrangien moyen de Whitham. Cette approche utilise une formulation variationnelle qui réduit le problème à un système d'équations algébriques non-linéaires qui peut être résolu par la méthode de Newton. Les propriétés de la matrice jacobienne associée à cette dernière et la symétrie des vagues à courtes crêtes permettent de réduire considérablement l'espace mémoire utilisé et le temps de calcul. Cette technique nous a permis de généraliser les rides de Wilton au cas tridimensionnel, et surtout de calculer les ondes à courtes crêtes de gravité pour des configurations pleinement résonantes inaccessibles aux méthodes antérieures en raison de la présence de petits diviseurs. En outre, elle s'adapte très bien aux moyens classiques d'étude de la stabilité des vagues et de leurs bifurcations.