Lissage anisotrope Doppler par extension de l'opérateur de diffusion de Laplace-Beltrami dans le cadre de la géométrie Riemannienne de l'information de Chentsov

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URI: http://hdl.handle.net/2042/13513
Title: Lissage anisotrope Doppler par extension de l'opérateur de diffusion de Laplace-Beltrami dans le cadre de la géométrie Riemannienne de l'information de Chentsov
Author: RIVEREAU, N.; GERMOND, C.; BARBARESCO, F.
Abstract: - Nous traitons le problème du débruitage spatial de l'estimation des paramètres de lois statistiques grâce au flot géométrique non-linéaire de Laplace-Beltrami. Cet opérateur , récemment introduit par N. Sochen et R. Kimmel [2] en traitement d'image, est étendu au cas d'un espace hybride formé des coordonnées spatiales (géométrie Euclidienne de la mesure) et des paramètres des lois statistiques (géométrie de l'information de Chentsov dont la métrique est donnée par la matrice d'information de Fisher). Cet opérateur EDP agissant intrinsèquement sur la variété entropique possède la propriété de conserver les discontinuités, ce qui permet de lisser les estimateurs des paramètres de lois statistiques de façon anisotrope. Nous appliquons ce formalisme au lissage spatial de paramètres statistiques de processus autorégressifs via la métrique de Siegel, en déduisant l'expression des opérateurs agissant sur les coefficients de réflexion qui permettent de lisser anisotropiquement des spectres Doppler. Que ce soit, pour la théorie des « Espaces d'Echelle », pour la métrique de Chentsov des densités gaussiennes, ou pour les modèles AR, le modèle de géométrie hyperbolique de Poincaré dans le disque unité semble jouer un rôle central. Our problem adresses the spatial denoising of statistical parameters estimation via the géométrie non-linear Laplace-Beltrami Flow based on the embedding space geometry deduced from Information geometry. Input of our problem is a map W: Σ→M where Σ is a n-dimensional Riemannian manifold and X is the embedding of this manifold in a space which is hybrid space of spatial coordinates and statistical parameters coordinates (Chentsov space of Information geometry deduced from Fisher metric). Then, our problem is solved viewing parameters space of Chentsov as embedding maps, that flow toward minimal surfaces.This spatial denoising, recently introduced by N. Sochen & R. Kimmel [2] in Image processing, and presently extended for spatial statistical parameters estimation denoising preserves discontinuities (The operator has the good behaviour that the projection is edge preserving.). After the definition of the Laplace-Beltrami flow for any statistical parameters space based on Fisher metric, we provide different applications for anisotropic spatial smoothing of Gaussian law parameters and reflection coefficient in Doppler analysis. In case of Doppler analysis, the hybrid space is the Embedding Siegel space. In all cases, Poincaré's hyperbolic geometry model in unit disk seems to play a central role.
Publisher: GRETSI, Groupe d’Etudes du Traitement du Signal et des Images
Date: 2003

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